Question

已知函數(shù)，a為常數(shù)
（1）若f（x）＞2的解集為（2，3），求a的值
（2）若f（x）＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由解集為（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，
所以f（x）＞2即可化為a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，
由解集形式知：a-2＜0，所以x＜②，
由①②得2＜x＜，
所以=3，解得a=1，；
（2）f（x）＜x-3即＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，等價于a＜對任意的x∈（2，+∞）恒成立，
又=（x-1）+-3≥2-3=2-3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=+1時取等號，
所以a＜2-3；
分析：（1）由解集可知x＞2，從而對不等式進(jìn)行化簡，解出不等式后對比解集端點可得關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）f（x）＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，可先分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值解決，對函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)變形，然后利用基本不等式可求最值；
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、根與系數(shù)的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是對問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榍蠛瘮?shù)最值問題．