Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）滿足f（b）≥f（c），記f（x）的最小值為m（b，c）．
（Ⅰ）證明：當(dāng)b＞0時(shí)，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）當(dāng)b，c滿足m（b，c）≥1時(shí)，求f（1）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明：當(dāng)b＞0時(shí)，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）根據(jù)不等式的進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（b）≥f（c）得：2b²≥c²+bc
即（c+2b）（c-b）≤0
又 b＞0∴-2b≤c≤b，
$m（b，c）=c-\frac{1}{4}{b^2}≤b-\frac{1}{4}{b^2}≤1$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號成立）…（6分）
（Ⅱ）由$m（b，c）=c-\frac{1}{4}{b^2}≥1$得：$c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
又（c+2b）（c-b）≤0
�。┊�(dāng)b＞0時(shí)，-2b≤c≤b，∴$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b²-4b+4≤0
解得b=2
代入$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$得c=2
所以f（1）=5
ⅱ）當(dāng)b＜0時(shí)，b≤c≤-2b，∴$-2b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b²+8b+4≤0
解得$-4-2\sqrt{3}≤b≤-4+2\sqrt{3}$，
$f（1）=1+b+c≤1+b-2b=1-b≤5+2\sqrt{3}$
當(dāng)$b=-4-2\sqrt{3}，c=8+4\sqrt{3}$時(shí)等號成立．
ⅲ）當(dāng)b=0時(shí)，c=0，與題意不符．
綜上知：f（1）的最大值為$5+2\sqrt{3}$．  …（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解以及不等式的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．