Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+1．若a為整數(shù)，且函數(shù)f（x）在（-2，-1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

分析：分別討論a的取值，利用函數(shù)f（x）在（-2，-1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，建立條件關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）a=0時(shí)，由f（x）=ax²-（a+2）x+1=-2x+1=0，得x=

1

2

，所以f（x）在（-2，-1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；
（2）a≠0時(shí)，由f（x）=ax²-（a+2）x+1，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立，
知f（x）=ax²-（a+2）x+1必有兩個(gè)零點(diǎn)．        
若f（-2）=0，即4a+2（a+2）+1=0，解得a=-

5

6

∉Z；
若f（-1）=0，即a+（a+2）+1=0，解得a=-

3

2

∉Z，
所以f（-2）f（-1）≠0．                       
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-2，-1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
所以f（-2）f（-1）＜0，即（6a+5）（2a+3）＜0．
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，
由a為整數(shù)，所以a=-1，
綜上所述，所求整數(shù)a的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷和應(yīng)用，注意對(duì)a進(jìn)行討論，利用根的存在性定理是解決函數(shù)零點(diǎn)的基本方法．