Question

在△ABC中,余弦定理可敘述為a²=b²+c²-2bccosA.?

其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊,類比以上定理,給出空間四面體性質(zhì)的猜想.?

      

Answer 1

解:如例4圖示,S₁、S₂、S₃、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積,α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC,平面PBC與平面PCA,平面PCA與平面PAB所成二面角的大小,猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為?

       S²=S₁²+S₂²+S₃²-2S₁S₂cosα-2S₂S₃cosβ-2S₃S₁cosγ.?

       上式可敘述為四面體的一個面的面積的平方,等于其他各面面積平方的和,減去每兩個面面積與這兩個面夾角余弦乘積的兩倍.?

       關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理來證明三角形余弦定理的方法,給出較簡捷的證法.?

       先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法:在△ABC中,a、b、c分別表示角A、B、C的對邊,則有a=bcosC+ccosB,               ①?

       b=ccosA+acosC,                               ②?

       c=acosB+bcosA,                               ③?

       ①×a-②×b-③×c可得?

       a²-b²-c²=-2bccosA,?

       ∴a²=b²+c²-2bcosA.?

       下面給出三維余弦定理的證明,如例4圖形,記號表示面積為S₁和S₂的兩個面所成的二面角大小,由例4的三維射影定理可知:?

       S=S₁cos+S₂cos+S₃cos,①?

       S₁=S₂cos+S₃cos+Scos,②?

       S₂=S₃cos+Scos+S₁cos,③?

       S₃=Scos+S₁cos+S₂cos,④?

       ①×S-②×S₁-③×S₂-④×S₃可得?

       S²-S₁²-S₂²-S₃²=-2S₁S₂cos-2S₂S₃cos-2S₃S₁cosS₃S₁?=-2S₁S₂cosα-2S₂S₃cosβ-2S₃S₁cosγ.?

       移項得欲證三維余弦定理.?

       溫馨提示:在我們學(xué)習(xí)空間圖形時,常常以四面體和長方體分別作為三角形和矩形的類比物,將二維空間(平面)中的某些常見的定理類比推理到三維空間得出相應(yīng)的命題.