Question

9．已知cos（α+2β）=$\frac{1}{5}$，cosα=$\frac{2}{5}$，則tan（α+β）tanβ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數的基本關系，兩角和差的余弦公式求得cos（α+β）cosβ 和sin（α+β）sinβ 的值，可得要求式子的值．

解答 解：∵cos（α+2β）=$\frac{1}{5}$，cosα=$\frac{2}{5}$，∴cos[（α+β）+β]=cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ=$\frac{1}{5}$ ①，
cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=$\frac{2}{5}$ ②，
根據①②求得cos（α+β）cosβ=$\frac{3}{10}$，sin（α+β）sinβ=$\frac{1}{10}$，
∴tan（α+β）tanβ=$\frac{sin（α+β）sinβ}{cos（α+β）cosβ}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和差的余弦公式的應用，屬于基礎題．