Question

（2009•黃浦區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）求等差數(shù)列{b_n}（n∈N^*），使b₁C_n⁰+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1對n∈N^*都成立；
（3）令c_n=nb_n（n∈N^*），是否存在正常數(shù)M，使

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

＜M對n∈N^*恒成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推式a_n+1=2a_n+2ⁿ，可得

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

從而得證，進而可求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的首項為b₁，公差為d，則b_n=b₁+（n-1）d（n∈N^*），從而有b₁+b_n+1=b₂+b_n=b₃+b_n-1=…=b_n+1+b₁．
條件 b₁C_n⁰+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1，利用加法交換律把此等式變?yōu)閎_n+1C_nⁿ+b_nC_n^n-1+b_n-1C_n^n-2+…+b₁C_n⁰=a_n+1，
兩式相加，利用組合數(shù)的性質(zhì)C_n^m=C_n^n-m化簡，即可求得滿足題設(shè)的等差數(shù)列；
（3）可得結(jié)論存在正常數(shù)M（只要M＞6即可）使得

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

＜M對n∈N^*恒成立，先表示出

cn

an

=

n(2n-1)

n•2n-1

=

2n-1

2n-1

，進而利用錯位相減法求和，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n∈N^*），∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．…（3分）
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

為首項，公差為

1

2

的等差數(shù)列，且

an

2n

=

a1

2

+

1

2

(n-1)．…（5分）
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的首項為b₁，公差為d，則b_n=b₁+（n-1）d（n∈N^*）．…（7分）
考察等差數(shù)列，易知：b₁+b_n+1=b₂+b_n=b₃+b_n-1=…=b_n+1+b₁．
又 b₁C_n⁰+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1，利用加法交換律把此等式變?yōu)閎_n+1C_nⁿ+b_nC_n^n-1+b_n-1C_n^n-2+…+b₁C_n⁰=a_n+1，
兩式相加，利用組合數(shù)的性質(zhì)C_n^m=C_n^n-m化簡，得（b₁+b_n+1）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=2a_n+1，即b₁+b_n+1=2n+2．…（10分）
再分別令n=1，n=2，得

b1+b2=4 b1+b3=6

，進一步可得

b1=1 d=2

．…（11分）
因此，滿足題設(shè)的等差數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2n-1（n∈N^*）．…（12分）
（3）結(jié)論：
存在正常數(shù)M（只要M＞6即可）使得

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

＜M對n∈N^*恒成立．（13分）
證明　由（2）知，b_n=2n-1，于是，c_n=n（2n-1），

cn

an

=

n(2n-1)

n•2n-1

=

2n-1

2n-1

．…（14分）
記A=

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

，則A=

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，

1

2

A=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

．此兩式相差，得

1

2

A=

1

20

+

2

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

．進一步有A=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

＜6．…（18分）
所以，當且僅當正常數(shù)M＞6時，

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

＜M對n∈N^*恒成立．

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查構(gòu)造法證明等差數(shù)列，考查等差數(shù)列項的性質(zhì)，考查錯位相減法求和，綜合性強．