Question

已知不等式x²-5mx-6m²≤0的解集為A，不等式ax²-x+12a-2＜0的解集為B，
（1）求A；    
（2）當(dāng)m=1時(shí)，A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）原不等式變形為：（x+m）（x-6m）≤0，
當(dāng)m＞0時(shí)，A=[-m，6m]；當(dāng)m=0時(shí)，A={0}；當(dāng)m＜0時(shí)，A=[6m，-m]；…（5分）
（2）當(dāng)m=1時(shí)，A=[-1，6]；∵A∩B≠∅，
即x∈[-1，6]時(shí)，不等式ax²-x+12a-2＜0有解，…（7分）
即（x²+12）a＜x+2有解，也就是a＜

x+2

x2+12

有解，則a＜(

x+2

x2+12

)max…（9分）
令t=x+2，∵x∈[-1，6]，∴t∈[1，8]，且x=t-2
∴

x+2

x2+12

=

t

(t-2)2+12

=

t

t2-4t+16

=

1

t+ 16 t -4

≤

1

2 t• 16 t -4

=

1

4

，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即t=4時(shí)取等號(hào)），∴(

x+2

x2+12

)min=

1

4

，則a＜

1

4

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

4

）…（13分）