Question

15．已知向量$\overrightarrow m$=（cosx-1，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（cosx+1，cosx），x∈R．f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ccosB+bcosC=1且f（A）=0，求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數量積公式得到三角函數式，然后利用倍角公式等化簡，求單調增區(qū)間；
（2）利用（1）的結論，求出A，然后借助于余弦定理求出bc≤1，從而求面積的最值．

解答 解：（1）由題意知$f（x）={cos^2}x-1+\sqrt{3}sinxcosx=sin（{2x+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
得f（x）的單調遞增區(qū)間$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（{k∈Z}）$…6（分）
（2）$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}=0$，又0＜A＜π，則A=$\frac{π}{3}$
．又ccosB+bcosC=1得a=1，
由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}≥2bc-bc$．得bc≤1．
△ABC面積s=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
當且僅當b=c即△ABC為等邊三角形時面積最大為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…12（分）

點評 本題以向量為載體考查了三角函數式的化簡、余弦定理的運用以及解三角形；屬于中檔題．