Question

11．已知0＜m＜1，0＜n＜1，F(xiàn)₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．

Answer 1

分析 分m＞n和m＜n兩種情況分析，對(duì)于每一種情況，由橢圓方程求出焦距，設(shè)出P的坐標(biāo)，由三角形面積公式求得面積，得到P的縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)），把使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)轉(zhuǎn)化為P的坐標(biāo)與短半軸間的關(guān)系，由此求出n的范圍，利用幾何概型求概率．

解答 解：當(dāng)m＞n時(shí)，a²=m²，b²=n²，
∴c²=a²-b²=m²-n²，$c=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
設(shè)P（x_P，y_P），
則${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}×|{y}_{P}|$=n²，
∴$|{y}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}$，
若使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)，
則$|{y}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}$＜n，即n²＜m²-n²，
∴2n²＜m²，
∵m²＜1，∴2n²＜1，則-$\frac{\sqrt{2}}{2}＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜n＜1，則0$＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由幾何概型可得，使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)m＜n時(shí)，a²=n²，b²=m²，
∴c²=a²-b²=n²-m²，$c=\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}$，
設(shè)P（x_P，y_P），
則${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}×|{x}_{P}|={n}^{2}$，
∴$|{x}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}}＜m$，即$（\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}）^{2}-\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1＜0$，
此時(shí)$\frac{m}{n}$無解，即使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)的概率是0．
綜上，使△PF₁F₂的面積等于n²的點(diǎn)P恰有4個(gè)的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的面積問題，考查幾何概型的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，有一定難度．