Question

【題目】如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.

（1）證明：；

（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）推導出，取BC的中點F，連結EF ，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值．

（1）∵是平行四邊形，且

∴，故，即

取BC的中點F，連結EF.

∵

∴

又∵平面平面

∴平面

∵平面

∴

∵平面

∴平面，

∵平面

∴

（2）∵,由（Ⅰ）得

以為坐標原點，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系(如圖)，則

∴

設平面的法向量為，則，即

得平面的一個法向量為

由（1）知平面，所以可設平面的法向量為

設平面與平面所成二面角的平面角為，則

即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.