Question

如圖，兩條線(xiàn)段AB、CD所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，CD?平面α，AB∥α，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，且AC是AB、CD的公垂線(xiàn)段．
（1）求證：MN∥α；
（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造出線(xiàn)面平行的判定定理成立的條件--即在面內(nèi)找到一條線(xiàn)與其平行即可．
（2）構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理在直角三角形中求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過(guò)B作BB′⊥α，垂足為B′，連接CB′、DB′，設(shè)E為B′D的中點(diǎn)，
連接NE、CE，則NE∥BB′且NE=

1

2

BB′，又AC=BB′，
∴MC

∥

.

NE，即四邊形MCEN為平行四邊形（矩形）．
∴MN∥CE．又CE?α，MN?α，∴MN∥α．
（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D=

BD2-BB′2

=

c2-b2

，
∴CE=

a2- 1 4 (c2-b2)

=

a2+ 1 4 b2- 1 4 c2

，
即線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為

a2+ 1 4 b2- 1 4 c2

．

點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力以及根據(jù)圖形構(gòu)造條件的能力．