Question

14．已知點（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$）是函數(shù)f（x）=2（asinx+bcosx）•cosx-b圖象的一個最大值點．
（I）求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，-$\frac{3π}{8}$$＜α＜\frac{π}{8}$，求cos2α

Answer 1

分析 （I）化簡可得f（x）=asin2x+bcos2x，由最大值可得ab的方程組，解方程組可得；
（Ⅱ）由題意和解析式可得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，由角的范圍和同角三角函數(shù)基本關系可得cos（2α+$\frac{π}{4}$），整體代入cos2α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$），計算可得．

解答 解：（I）化簡可得f（x）=2（asinx+bcosx）•cosx-b
=2asinxcosx+2bcos²x-b=asin2x+bcos2x，
∵點（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$）是函數(shù)f（x）圖象的一個最大值點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{2}}\\{a•\frac{\sqrt{2}}{2}+b•\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=1；
（Ⅱ）由（I）可知f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵f（α）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，∴$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，即sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∵-$\frac{3π}{8}$$＜α＜\frac{π}{8}$，∴-$\frac{π}{2}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=cos[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及和差角的三角函數(shù)公式，屬中檔題．