Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂x-1的定義域為[1，16]，函數(shù)g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2
（1）求函數(shù)y=g（x）的定義域；
（2）求函數(shù)y=g（x）的最小值；
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象恒在x軸的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由抽象函數(shù)的表達(dá)式可得：x∈[1，16]，x²∈[1，16]，函數(shù)y=g（x）的定義域為[1，4]；
（2）令t=log₂x，t∈[0，4]，可構(gòu)造函數(shù)y=g（t）=t²+（2a-2）t-a+3=（t+a-1）²-a²+a+2，分別討論對稱軸-a+1，得出函數(shù)最小值表達(dá)式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別令最小值大于零，求出a的范圍．

解答 解：（1）由抽象函數(shù)的表達(dá)式可得：
x∈[1，16]，x²∈[1，16]，
∴函數(shù)y=g（x）的定義域為[1，4]；
（2）y=g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
g（x）=G（t）=t²+（2a-2）t-a+3=（t+a-1）²-a²+a+2，
當(dāng)-a+1＜0即a≥1時，g（x）_min=g（0）=-a+3；
當(dāng)-a+1＞2即a＜-1時，g（x）_min=g（2）=3a+3；
當(dāng)2≥-a+1≥0即-1≤a＜1時，g（x）_min=-a²+a+2．
（3）函數(shù)y=g（x）的圖象恒在x軸的上方，
∴g（x）的最小值大于零，
當(dāng)-a+1＜0即a＞1時，g（x）_min=g（0）=-a+3＞0；
∴1＜a＜3；
當(dāng)-a+1＞2即a≤-1時，g（x）_min=g（2）=3a+3＞0；
∴不成立；
當(dāng)2＞-a+1＞0即-1＜a≤1時，g（x）_min=-a²+a+2＞0，
∴-1＜a≤1；
故a的范圍為-1＜a＜3．

點評 考查抽象函數(shù)定義域的求法和對二次函數(shù)閉區(qū)間最小值的分類討論，利用最小值解決恒成立問題．