Question

已知A，B是焦距為4

2

的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，過原點O與線段AB中點M的直線交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內(nèi)），直線OM的方程為y=

1

3

x
（1）求橢圓的方程；
（2）延長OC到E，使

OE

=

2

OC

，求△ABE的外接圓方程．

Answer 1

分析：（1）由于A（a，0），B（0，b），利用中點坐標公式可得：線段AB的中點M(

a

2

，

b

2

)．由于直線OM的方程為y=

1

3

x，可得a與b的關(guān)系．又焦距2c=4

2

，與a²=b²+c²聯(lián)立即可得出；
（2）由（1）可得M(

3

2

，

1

2

)，設(shè)E（x，y），利用

OE

=

2

OC

，可得E的坐標．設(shè)△ABE的外接圓的方程為
x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B，E三點的坐標代入即可得出D，E，F(xiàn)．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴線段AB的中點M(

a

2

，

b

2

)．
∵直線OM的方程為y=

1

3

x，∴

b

2

=

1

3

×

a

2

，即a=3b．
又焦距2c=4

2

，聯(lián)立

a=3b 2c=4 2 a2=b2+c2

解得c=2

2

，b=1，a=3．
∴橢圓E的方程為

x2

9

+y2=1．
（2）聯(lián)立

y= 1 3 x x2 9 +y2=1

解得C(

3 2

2

，

2

2

)．
設(shè)E（x，y），∵

OE

=

2

OC

，
∴（x，y）=

2

(

3 2

2

，

2

2

)=（3，1），即E（3，1）．
設(shè)△ABE的外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
把A，B，E三點的坐標代入可得

1+E+F=0 9+3D+F=0 9+1+3D+E+F=0

，解得

D=-3 E=-1 F=0

．
∴．△ABE的外接圓的方程為x²+y²-3x-y=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式、向量的運算、利用“待定系數(shù)法”求三角形外接圓的方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．