Question

1．在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
（1）寫(xiě)出l的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且$|AB|=8\sqrt{10}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），能求出l的參數(shù)方程；曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，由此能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，從而${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，由此利用$|AB|=8\sqrt{10}$，能求出α的值．

解答 解：（1）∵直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$，（α為參數(shù)），
∵曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
∴ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為：y²=8x．
（2）把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，
∴${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，
∵$|AB|=8\sqrt{10}$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{4\sqrt{4-6{{sin}^2}α}}}{{{{sin}^2}α}}=8\sqrt{10}$，
∴20sin⁴α+3sin²α-2=0，∴${sin^2}α=\frac{1}{4}$，
∴$sinα=\frac{1}{2}∴α=\frac{π}{6}或α=\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的參數(shù)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．