Question

【題目】已知函數(shù)

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性

(2)若恒成立，求整數(shù)的最大值

(3)求證：

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上為減函數(shù) （2）整數(shù)的最大值為3 （3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合，得函數(shù)在上為減函數(shù)；

（2）原命題可轉(zhuǎn)化為即恒成立，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可；

（3）由（2）知，，，令，再求和即可證明不等式，得解.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，，

又因?yàn)?，所以，，

所以 ，

即函數(shù)在上為減函數(shù)；

（2）由恒成立，

即恒成立，

即，

設(shè)，

所以，，

令，

則，

即在為增函數(shù)，

又 ，，

即存在唯一的實(shí)數(shù)根，滿足，且，，

當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，

即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

則，

故整數(shù)的最大值為3；

（3）由（2）知，，，

令，

則 ，

則=，

故.