Question

15．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁和B₁D₁所成角的大小為60°；直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小為30°．

Answer 1

分析 連結(jié)DC₁，A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連結(jié)BO，由B₁D₁∥BD，得∠DBC₁是線BC₁和B₁D₁所成角，由此能求出直線BC₁和B₁D₁所成角的大小；推導出C₁O⊥平面B₁D₁DB，從而∠OBC₁是直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角，由此能求出直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大�。�

解答 解：連結(jié)DC₁，A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連結(jié)BO，
∵B₁D₁∥BD，∴∠DBC₁是線BC₁和B₁D₁所成角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴直線BC₁和B₁D₁所成角的大小為60°；
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D₁⊥A₁C₁，BB₁⊥A₁C₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
∴C₁O⊥平面B₁D₁DB，
∴∠OBC₁是直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角，
∵$O{C}_{1}=\frac{1}{2}B{C}_{1}$，∴$sin∠OB{C}_{1}=\frac{O{C}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OBC₁=30°．
∴直線BC₁和平面B₁D₁DB所成角為30°．
故答案為：60°，30°．

點評 本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．