Question

3．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，AB=BC．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC₁，交A₁C點(diǎn)O，連DO，推出OD∥BC₁，即可證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EO，OF，F(xiàn)B，證明四邊形BEOF是平行四邊形，證明BF⊥AC，BF⊥CC₁，得到BF⊥平面ACC₁A₁，然后證明平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

解答 解：（1）連結(jié)AC₁，交A₁C點(diǎn)O，連DO，則O是AC₁的中點(diǎn)，
因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，故OD∥BC₁…（2分）
因?yàn)镺D?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD…（3分）
所以BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（2）取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EO，OF，F(xiàn)B，
因?yàn)镺是AC₁的中點(diǎn)，
故OF∥AA₁且$OF=\frac{1}{2}$AA₁…（5分）
顯然BE∥AA₁且$BE=\frac{1}{2}$AA₁
所以O(shè)F∥BE且OF=BE…（6分）
則四邊形BEOF是平行四邊形…（7分）
所以EO∥BF…（8分）
因?yàn)锳B=BC
所以BF⊥AC…（9分）
又BF⊥CC₁
所以直線BF⊥平面ACC₁A₁…（10分）
因?yàn)镋O∥BF
所以直線EO⊥平面ACC₁A₁…（11分）
所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．