Question

11．設(shè)等邊三角形ABC的邊長為6，若$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$=-18．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，由此能求出$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：∵等邊三角形ABC的邊長為6，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，
∴D為AC中點，∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}$，∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=-36+$\frac{1}{3}×36×cos60°$+$\frac{1}{2}×6×6×cos60°$+$\frac{1}{6}×6×6×cos60°$
=-36+6+9+3
=-18．
故答案為：-18．

點評 本題考查向量數(shù)量積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意平面向量加法法和向量數(shù)量積公式的合理運用．