Question

19．如圖，ABCD為空間四邊形，點E、F分別是AB、BC的中點，點G、H分別在CD、AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD，求證：直線EH、FG必相交于一點，且這個交點在直線BD上．

Answer 1

分析 連接EF，HG，由已知條件推導出G，E，F(xiàn)，H四點共面，再由EF與GH不能平行，能證明直線EH、FG必相交于一點，且這個交點在直線BD上．

解答 證明：連接EF，HG，
∵點E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF∥AC，
又∵點G、H分別在CD、AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD，
∴HG∥AC，
∴EF∥HG，
故G，E，F(xiàn)，H四點共面
又∵EF與GH不能平行，
∴EF與GH相交，設交點為O，
則O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，
∴EF，GH，BD交于一點．
∴直線EH、FG必相交于一點，且這個交點在直線BD上．

點評 本題考查直線EH、FG必相交于一點，且這個交點在直線BD上的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．