Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：（）的焦點(diǎn)是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，且兩曲線(xiàn)有公共點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，并且為的重心，試探究的面積是否為定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)得拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，進(jìn)而得橢圓中，再將點(diǎn)代入橢圓求解即可；

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，得；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)：，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，由韋達(dá)定理得，為的重心， ，點(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，所以代入橢圓可得，由，到的距離為，得代入求解即可證得.

試題解析：

（1）將點(diǎn)代入可得

拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

橢圓中又點(diǎn)在橢圓上，，

解得 橢圓：

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

為的重心，為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，

，到的距離為.

.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立方程

，消得有兩不等實(shí)根

.

設(shè)，，

.

又為的重心， ，

又點(diǎn)在橢圓上， ，得

.

到的距離為

.

的面積為定值.