Question

20．如圖，在四棱錐S-ABCD中，點O是正方形ABCD的中心，SO⊥平面ABCD，且SO=OD，點P為棱SD上一點．
（Ⅰ） 當點P為棱SD的中點時，求證：SD⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在點P，使得直線BC與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 當當P是SD的中點時，AP⊥SD，CP⊥SD，又AP∩CP=P，即可證明：SD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PAC的一個法向量，利用直線BC與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：由題意不妨設(shè)OS=OD=1，
則SD=$\sqrt{2}$，CD=AD=$\sqrt{2}$，SA=SC=$\sqrt{2}$，
∴△SAD，△SCD為等邊三角形，
當P是SD的中點時，AP⊥SD，CP⊥SD，
又AP∩CP=P，
∴SD⊥平面PAC．…（5分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，B（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），D（-1，0，0），A（0，-1，0）
假設(shè)存在符合題意的點P，可設(shè)$\overrightarrow{SP}$=λ$\overrightarrow{SD}$，P（-λ，0，1-λ）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-λ，1，1-λ），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
設(shè)平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-λx+y+（1-λ）z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$
不妨取$\overrightarrow{n}$=（1-λ，0，λ），
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）
由|$\frac{λ-1}{\sqrt{（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}•\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$可得3λ²-8λ+4=0，
解得λ=$\frac{2}{3}$（λ=2舍去）．所以符合題意的點P是棱SD上靠近點D的三等分點．…（12分）

點評 本題考查立體幾何中的線面關(guān)系及空間向量的應用，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．