Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），直線 （為參數(shù)， ），直線與曲線相切于點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于在，兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；點(diǎn)的極坐標(biāo)為；（2）16.

【解析】

（1）直接利用消去參數(shù)法，將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再利用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程，即可求出曲線和直線的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，通過(guò)求出，從而可求出點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）利用互化公式求出的極坐標(biāo)方程，設(shè)，，將代入的極坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而求出和，從而可求出的值.

解：（1）已知曲線為參數(shù)），

消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，

將代入得的極坐標(biāo)方程為，

由于直線為參數(shù)，，

可得的極坐標(biāo)方程為（），

由于直線與曲線相切于點(diǎn)，

將代入曲線，得，

則，得，

又，所以，則，

此時(shí)，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（2）由于的直角坐標(biāo)方程為，則圓心，

則的極坐標(biāo)方程為：，

設(shè)，，

將代入的極坐標(biāo)方程，

得，，

所以，，所以，，

又因?yàn)?/span>，

，

所以.