Question

（2013•韶關(guān)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R
（1）若f（

1

3

）=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)M表示f′（0）與f′（1）兩個(gè)數(shù)中的最大值，求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′（x）|≤M．

Answer 1

分析：（1）由f(

1

3

)=0，得a=b．當(dāng)a＞0時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系列出表格即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)a，b分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答：解：（1）由f(

1

3

)=0，得a=b．
當(dāng)a=0時(shí)，則b=0，f（x）=c不具備單調(diào)性．
當(dāng)a＞0時(shí)，可得f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f^′（x）=a（3x²-4x+1）=0得x₁=

1

3

，x₂=1．
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，

1

3

）及（1，+∞）．單調(diào)減區(qū)間是[

1

3

，1]．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f^′（x）=-2bx+b，
若b=0，則f^′（x）=0，
若b＞0，或b＜0，f^′（x）在[0，1]是單調(diào)函數(shù)，-f^′（0）=f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0），
或-f^′（1）=f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1）．
∴|f^′（x）|≤M．
當(dāng)a＞0時(shí)，f^′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a(x-

a+b

3a

)2-

a2+b2-ab

3a

．
①當(dāng)

a+b

3a

≥1或

a+b

3a

≤0時(shí)，則f^′（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∴f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0）或f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1），且f^′（0）+f^′（1）=a＞0．
∴-M≤f^′（x）≤M．
②當(dāng)0＜

a+b

3a

＜1，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f′(x)≤M．
（i） 當(dāng)-a＜b≤

a

2

時(shí)，則0＜a+b≤

3a

2

．
∴f′(1)-

a2+b2-ab

3a

=

2a2-b2-2ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0＞0．
∴-M＜f^′（x）≤M．
（ii） 當(dāng)

a

2

＜b＜2a時(shí)，則(b-

a

2

)(b-2a)＜0，即a²+b²-

5

2

ab＜0．
∴b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞

5 2 ab-a2-b2

3a

＞0，即f′(0)＞

a2+b2-ab

3a

．
∴-M＜f^′（x）≤M．
綜上所述：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f^′（x）|≤M．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系并列出表格、分類討論的思想方法、二次函數(shù)的單調(diào)性設(shè)解題的關(guān)鍵．