Question

18．已知|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），
（1）求|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|的值；
（2）求向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與向量$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夾角．

Answer 1

分析 （1）利用已知，將$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$平方展開(kāi)得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，只要求|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|的平方，再開(kāi)方求值；
（2）結(jié)合（1），利用數(shù)量積公式，可求向量的夾角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），∴|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，∴${\overrightarrow a^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=4$，…（4分）
∵|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，…（2分）
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=4$ 
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=2，…（2分）
（2）設(shè)$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$ 與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夾角為θ （ 0≤θ≤π ），…（1分）
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|•|\overrightarrow a-\overrightarrow b|}=\frac{{{{\overrightarrow a}^2}-{{\overrightarrow b}^2}}}{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|•|\overrightarrow a-\overrightarrow b|}=\frac{1-3}{2×2}=-\frac{1}{2}$ …（3分）
∵0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$ 
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$ 與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夾角$\frac{2π}{3}$．         …（2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平方與其哦的平方相等、數(shù)量積公式的運(yùn)用求向量夾角．