Question

已知函數(shù)f(x)=.

(1)判定其奇偶性；

(2)指出該函數(shù)在區(qū)間(0，1)上的單調(diào)性并證明；

(3)利用(1)(2)的結(jié)論，指出該函數(shù)在(-1，0)上的增減性.

Answer 1

思路分析：(1)(2)利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.(3)利用奇函數(shù)在y軸兩側(cè)對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同來判斷該函數(shù)在(-1，0)上的增減性.

解：(1)f(x)的定義域為R，

f(-x)==-f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù).

(2)設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則

f(x₂)-f(x₁)=,

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0,1+x₁²＞0,1+x₂²＞0.

∴f(x₂)＞f(x₁)，

即f(x₁)＜f(x₂).

因此f(x)在(0，1)上是增函數(shù).

(3)∵f(x)為奇函數(shù)，又在(0，1)上為增函數(shù)，

∴f(x)在(-1，0)上也是增函數(shù).