Question

5．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若直線l與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；由代入消元可得直線l的普通方程，求得圓的圓心和半徑，及圓心到直線的距離，與半徑比較，即可得到所求直線和圓的位置關(guān)系；
（2）方法一、將直線的參數(shù)方程代入拋物線的方程，求得參數(shù)的值，由參數(shù)的幾何意義，可得弦長；
方法二、運用直線的普通方程代入拋物線的方程，求得交點坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，可得弦長．

解答 解：（1）曲線C：ρ=2cosθ，即為ρ²=2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得x²+y²=2x，
則曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，圓心（1，0），半徑為1，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），由代入法，消去t，可得
直線l的普通方程為x+y-3=0，
圓心到直線l的距離為$\frac{|1-3|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\sqrt{2}＞1$，
所以直線l與曲線C相離．        
（2）解法一、將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入拋物線x²=4y，得
${（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=4（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$，
即${t^2}-6\sqrt{2}t-14=0$，解得${t_1}=-\sqrt{2}$，${t_2}=7\sqrt{2}$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=8$\sqrt{2}$．
解法二、直線l的普通方程為x+y-3=0，聯(lián)立x²=4y，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\\{y_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-6\\{y_2}=9\end{array}\right.$，
即A（2，1），B（-6，9），
所以|AB|=$\sqrt{（2+6）^{2}+（1-9）^{2}}$=8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程和普通方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷，注意運用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系，考查直線和拋物線相交的弦長的求法，注意聯(lián)立方程求交點，運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．