Question

函數(shù)對(duì)任意的，都有，并且時(shí)，恒有.

(Ⅰ)求證：在上是增函數(shù)；

(Ⅱ)若，解不等式.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)見解析； (Ⅱ)a∈(－3,2)．   

【解析】(1)本題關(guān)于是利用m,n的取值的任意性，根據(jù)定義進(jìn)行證明.

設(shè),則.

(2)解本小題的關(guān)鍵是求出f(x)=2，對(duì)應(yīng)的x的值.

由于f(3)=4,f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以,問(wèn)題到此基本得以解決.

(Ⅰ)證明　設(shè)x1<x2，∴x2－x1>0，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上為增函數(shù)．

 (Ⅱ)解　∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，                    f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，

∴f(a²＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴a²＋a－5<1⇒－3<a<2，即

a∈(－3,2)．