Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，an+1=2(1+

1

n

)2•an，(n∈N*)．
（1）若bn=

an

n2

，證明數(shù)列{b_n}是一個(gè)等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)cn=

2n

an

•

n

(n+1)

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）對(duì)已知的a_n+1和a_n的關(guān)系進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，并結(jié)合bn=

an

n2

，能推導(dǎo)出b_n+1=2b_n，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，結(jié)合已知條件，能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）利用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由已知條件，先求出c_n，再利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：（1）證明：∵an+1=2

(n+1)2

n2

•an，
∴

an+1

(n+1)2

=2

an

n2

…．（2分）
∵bn=

an

n2

，
∴b_n+1=2b_n，即

bn+1

bn

=2…．（4分）
∴數(shù)列{b_n}是一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列…．（6分）
（2）∵a₁=2，∴b₁=

2

12

=2，
∴bn=2•2n-1=2n…．（8分）
∴an=bn•n2=2n•n2…．（10分）
（3）∵an=2n•n2，cn=

2n

an

•

n

(n+1)

，
∴cn=

2n

2n•n2

•

n

(n+1)

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…．（12分）
∴Tn=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

(n+1)

=

n

n+1

…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列是等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．