Question

【題目】如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中點(diǎn)，側(cè)面底面.

（1）求證：；

（2）過(guò)側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于點(diǎn)，若，求證：截面側(cè)面；

（3）若截面平面，成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析； （3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明側(cè)面，即可證得；

（2）延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，證明側(cè)面即可；

（3）過(guò)M作于點(diǎn)E，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，側(cè)面，，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系即可得解.

（1）證明：，D是的中點(diǎn)，.

∵底面側(cè)面，底面側(cè)面，底面，

側(cè)面.

又側(cè)面，.

（2）證明：如圖，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，

連接，則平面，

，.，

，

，由已知側(cè)面底面

所以側(cè)面底面，交線為，

底面，

側(cè)面，平面，

∴截面側(cè)面.

（3）成立.理由如下：

過(guò)M作于點(diǎn)E，連接.

∵截面側(cè)面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，

側(cè)面.

又側(cè)面，，

四點(diǎn)共面.

側(cè)面，平面，

平面平面，.

∴四邊形是平行四邊形，

又，.

是的中點(diǎn)，，

.

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