Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知E、F、G、H、M、N依次是A₁B₁、B₁C₁、CC₁、DC、AD、AA₁的中點(diǎn),求證:E、F、G、H、M、N六點(diǎn)共面.

Answer 1

證明:連結(jié)NM、MH、HG、GN、AC、NE、EH、FG,

∵N、H分別為DA、DC的中點(diǎn),∴MH∥AC.

∵N、G分別為AA₁、CC₁的中點(diǎn),∴AC∥NG.∴MH∥NG.

∴N、M、H、G四點(diǎn)共面.

同理,MN∥HE,

∴N、M、H、E四點(diǎn)共面.

∵平面NMHG與平面NMHE都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)N、M、H.

∴平面NMHG與平面NMHE是同一個(gè)平面.

∴E在平面NMHG內(nèi).

同理,可證平面FGHE與平面NMHG是同一個(gè)平面.

∴F在平面NMHG內(nèi).

∴E、F、G、H、M、N六點(diǎn)共面.