Question

設f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當0≤x≤2時，y=；
當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分
（1）求函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在下面的直角坐標系中直接畫出函數(shù)f（x）的圖象，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以“當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分”，
那么函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，
設函數(shù)的解析式是f（x）=a（x-h）²+b，
則根據(jù)條件有，解得：，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的解析式為f（x）=-（x+3）²+4=-x²-6x-5．
（2）圖象如下圖所示：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-3）和（0，3），單調(diào)減區(qū)間為：（-3，0）和（3，+∞）．
分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，“當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分”，那么函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，設頂點式即可求出解析式．
（2）畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象上升趨勢的是單調(diào)增區(qū)間，下降趨勢的是單調(diào)減區(qū)間．
點評：本題主要考察二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關鍵是：①利用偶函數(shù)關于y軸對稱得到關于（-∞，-2）上圖象信息；②用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．