Question

已知橢圓E：

x2

4

+y²=1的短軸端點分別為A，B（如圖）．直線AM，BM分別與橢圓E交于C，D兩點，其中點滿足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）若AM⊥BM，求m的值；
（Ⅱ）證明：CD所在直線與y軸交點的位置與m無關(guān)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由

AM

=（m，-

1

2

），

BM

=(m，

3

2

)，AM⊥BM，能求出m的值．
（Ⅱ）直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得C（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得D（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

），由此能證明CD與y軸交點的位置與m無關(guān)．

解答： （Ⅰ）解：∵A（0，1），B（0，-1），M（m，

1

2

），
∴

AM

=（m，-

1

2

），

BM

=(m，

3

2

)．…（2分）
又AM⊥BM，∴

AM

•

BM

=0，
即m2=

3

4

，解得m=±

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）證明：直線AM的斜率為k1=-

1

2m

，
直線BM斜率為k2=

3

2m

．
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1．…（6分）
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，∴x1=0，x2=

4m

m2+1

．
∴C（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），…（8分）
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

，得（m²+9）x²-12mx=0，
∴x₁=0，x2=

12m

m2+9

，∴D（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

），…（10分）
由題意知m≠0，m²≠3，．
∴直線CD的斜率k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 m2+9

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

，
∴直線CD的方程為y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)．…（12分）
令x=0，得y=2，∴CD與y軸交點的位置與m無關(guān)．…（13分）

點評：本小題主要考查橢圓標(biāo)準方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想等．