Question

若全稱命題：“x∈［-1,+∞）時(shí)，x²-2ax+2≥a恒成立”，是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

思路分析：由于此全稱命題是真命題，所以可以推證出a的值，求出在x∈［-1,+∞）時(shí)，［f（x）］_min≥a或利用一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系解題.

解法一：由題意，x∈［-1,+∞），令f（x）=x²-2ax+2≥a都成立.?

∴f（x）=（x-a）²+2-a²可轉(zhuǎn)化為x∈［-1,+∞），f（x）_min≥a成立，即x∈［-1,+∞）,?

由f（x）的最小值f（x）_min≥a知，?

a∈［-3,1］.?

解法二：x²-2ax+2≥a，?

即x²-2ax+2-a≥0.?

令f（x）=x²-2ax+2-a，?

∴全稱命題轉(zhuǎn)化為x∈［-1,+∞）時(shí)，f（x）≥0成立.?

∴Δ≤0或

即-2≤a≤1或-3≤a＜-2?

∴-3≤a≤1.?

綜上，所求實(shí)數(shù)a取值范圍是［-3，1］.

溫馨提示

由“恒成立”三個(gè)字即知是由全稱量詞構(gòu)成的全稱命題.由此來(lái)探討“x∈［-1,+∞），?f（x）≥a?”只需f（x）_min≥a,解法二中等價(jià)轉(zhuǎn)化為：x∈［-1,+∞），x²-2ax+2-a≥0成立，結(jié)合一元二次不等式的解集與圖象間關(guān)系求解.