Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（1，2），B（-3，1）．若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且，則有（ ）
A．最小值-16
B．最大值-16
C．最大值16
D．最小值16

Answer 1

【答案】分析：設(shè)P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）可求得直線(xiàn)AB的方程為x-4y+7=0，再由點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，可求得m+n=1，代入，利用基本不等式即可．
解答：解：設(shè)P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）得直線(xiàn)AB的斜率k=，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)AB的方程為x-4y+7=0，
又點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，=m+n，
∴（x，y）=m（1，2）+n（-3，1），m＞0，n＞0
∴，又x-4y+7=0，
∴（m-3n）-4（2m+n）+7=0，
∴m+n=1．又m＞0，n＞0，
∴=（）（m+n）=10++≥10+6=16（當(dāng)且僅當(dāng)n=3m，即m=，n=時(shí)取到“=”）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，考查平面向量的基本定理及其意義，正確理解題意，得到m+n=1是關(guān)鍵，屬于中檔題．