Question

11．祖暅（公元前5～6世紀）是我國齊梁時代的數(shù)學家，是祖沖之的兒子．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．設(shè)由橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（如圖）（稱為橢球體），課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于$\frac{4}{3}π×{b^2}a$．

Answer 1

分析 橢圓的長半軸為a，短半軸為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積．

解答 解：橢圓的長半軸為a，短半軸為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積
V=2（V_圓柱-V_圓錐）=$2（{π×{b^2}×a-\frac{1}{3}π×{b^2}a}）=\frac{4}{3}π×{b^2}a$．
故答案為：$\frac{4}{3}π×{b^2}a$．

點評 本題考查祖暅原理、幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．