Question

已知數列{a_n}是公差為d的等差數列，數列{b_n}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數列，若函數f(x)=(x－1)²，且a₁=f(d－1)，a₃=f(d+1)，b₁=f(q+1)，b₃=f(q－1)，

(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；

(2)設數列{c_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，都有=a_n+1成立，求 

Answer 1

(1) a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1) , b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1 ,

(2)

解析:

  (1)∵a₁=f(d－1)=(d－2)²，a₃=f(d+1)=d²，

∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d，

∵d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1)；

又b₁=f(q+1)=q²，b₃=f(q－1)=(q－2)²，

∴=q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1

(2)令=d_n，則d₁+d₂+…+d_n=a_n+1,(n∈N^*),

∴d_n=a_n+1－a_n=2,

∴=2,即c_n=2·b_n=8·(－2)^n－1；∴S_n=［1－(－2)ⁿ］ 

∴