Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=2，

AD

=

DC

，

AE

=

1

2

EB

，若

BD

•

AC

=-

1

2

，則

CE

•

AB

=

-

4

3

．

Answer 1

分析：以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，可得B（-1，0），C（1，0）．設(shè)A（0，m），從而算出向量

BD

、

AC

的坐標(biāo)關(guān)于m的式子，由

BD

•

AC

=-

1

2

建立關(guān)于m的方程，解出m=2．由此算出

CE

、

AB

的坐標(biāo)，從而可得

CE

•

AB

的值．

解答：解：以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則B（-1，0），C（1，0），
設(shè)A（0，m），由題意得D（

1

2

，

1

2

m），E（-

1

3

，

2

3

m），
∴

BD

=（

3

2

，

1

2

m），

AC

=（1，-m），
∵

BD

•

AC

=-

1

2

，
∴

3

2

×1+

1

2

m×（-m）=-

1

2

，解之得m=2（負(fù)值舍去）
由此可得E（-

1

3

，

4

3

），

CE

=（-

4

3

，

4

3

），

AB

=（-1，-2）
∴

CE

•

AB

=-

4

3

×（-1）+

4

3

×（-2）=-

4

3

．
故答案為：-

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出等腰三角形的底面長(zhǎng)，在已知兩個(gè)向量的數(shù)量積的情況下求另外向量的數(shù)量積．著重考查了等腰三角形的性質(zhì)、向量的數(shù)量積公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．