Question

12．函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是（　�。�

• A． 奇函數(shù)且為增函數(shù)
• B． 偶函數(shù)且為增函數(shù)
• C． 奇函數(shù)且為減函數(shù)
• D． 偶函數(shù)且為減函數(shù)

Answer 1

分析 求f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{x}+1}$=f（-x），從而說明該函數(shù)為奇函數(shù)，分離常數(shù)可以得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可以看出x增大時2^x增大，從而可得出f（x）增大，這便說明f（x）為增函數(shù)．

解答 解：$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
x增大時，2^x+1增大，$-\frac{2}{{2}^{x}+1}$增大，f（x）增大；
∴f（x）是增函數(shù)．
故選A．

點評 考查奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及分離常數(shù)法的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，反比例函數(shù)的單調(diào)性，及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．