Question

設a、b、c都是整數(shù)，過圓x²+y²=（3a+1）²外一點P（b³-b，c³-c）向圓引兩條切線，試證明：過這兩切點的直線上的任意一點都不是格點（所謂格點是指：橫、縱坐標都是整數(shù)的點）．

Answer 1

【答案】分析：由P和原點O的坐標，利用中點坐標公式求出線段OP的中點坐標，再利用兩點間的距離公式求出此中點到原點的距離，得到以OP為直徑的圓的圓心坐標和半徑，寫出以OP為直徑的圓的方程，記作（1），把已知圓x²+y²=（3a+1）²代入（1），整理后得到（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，即為過P作的兩條切線的方程，假設此切線方程有格點，把b³-b及c³-c弦利用提取公因式的方法分解因式，再利用平方差公式分解因式后，得到兩式都為三個連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，可得（3a+1）²能被3整除，即3a+1能被3整除，而3a+1不能被3整除，矛盾，假設錯誤，故過這兩切點的直線上的任意一點都不是格點，得證．
解答：解：∵P（b³-b，c³-c），O（0，0），
∴線段OP的中點的坐標為（（b³-b），（c³-c）），
∴以OP為直徑的圓的方程為：[x-（b³-b）]²+[y-（c³-c）]²=（b³-b）²+（c³-c）²，（1）
將x²+y²=（3a+1）²代入（1）得：（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，它就是過兩切點的直線方程，
假設此切線方程存在格點，
由b³-b=b（b-1）（b+1），得到它為三個連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，
同理，c³-c亦能被3整除，
∴（3a+1）²能被3整除，
∴3a+1也必須能被3整除，
顯然這是不可能的，
則過這兩切點的直線上的任意一點都不是格點．
點評：此題考查了圓的切線方程，圓的標準方程，以及反證法的運用，是一道證明題．其中根據(jù)題意表示出過圓x²+y²=（3a+1）²外一點P（b³-b，c³-c）向圓引兩條切線方程是解本題的關鍵．