Question

已知曲線C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N^*），從C上的點(diǎn)Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點(diǎn)P_n，再從點(diǎn)P_n作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）記c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與的大小（n∈N^*）；
（3）記d_n=，數(shù)列{d_n}的前n項和為T_n，試證明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n+1），然后根據(jù)y_n+1==可得x_n+1=x_n+n，然后根據(jù)累加法可求出數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）先判定S₁，S₂，S₃是否滿足條件，然后利用放縮法可知當(dāng)n＞3時，S_n=+++…+＜++++…+，然后利用等比數(shù)列求和可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)d_n=可知d_n+1＜，T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤++…+=×[1-]，當(dāng)n≥2，k=1，2，…，2n-1時，有d_k+d_2n-k≥×=2d_n，從而T_2n-1≥×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n，從而證得結(jié)論．
解答：解：（1）依題意點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n+1），
∴y_n+1==，∴x_n+1=x_n+n，（2分）
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=+1；（4分）
（2）∵c_n=，由S₁=1＜，S₂=1+=＜，S₃=1++=＜，
∴當(dāng)n＞3時，S_n=+++…+＜++++…+
=1++×=+-＜+-=（8分）
（3）∵d_n=，所以易證：d_n+1＜，
∴當(dāng)n≥2時，d_n＜＜＜…＜=，
∴T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤++…+=×[1-]，（當(dāng)n=1時取“=”）（11分）
另一方面，當(dāng)n≥2，k=1，2，…，2n-1時，有：
d_k+d_2n-k=×[]≥×2
==，
又∵4^k+4^2n-k≥2×4ⁿ，∴4²ⁿ-4^k-4^2n-k+1≤4²ⁿ-2×4ⁿ+1=（4ⁿ-1）²，
∴d_k+d_2n-k≥×=2d_n，
T_2n-1≥×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n．
所以對任意的n∈N^*，都有：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及放縮法的運(yùn)用和等比數(shù)列求和，同時考查了計算能力，屬于難題．