Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值與零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=+lnx，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直可得f′（2）=-5，從而可求得m值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得其極值，對(duì)于f（x）的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為f（x）=0的根求解；
（Ⅱ）“對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等價(jià)于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
由（Ⅰ）易求f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)可求g（x）在（0，1]上的最小值，注意按k的范圍進(jìn)行討論．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，
由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，，
列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值2	↘

所以，f（x）_極大值=f（1）=2，
因?yàn)閒（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，，
“對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等價(jià)于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
即當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，”，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124017969508211/SYS201310251240179695082018_DA/8.png">，
①當(dāng)k＜0時(shí)，因?yàn)閤∈（0，1]，
所以，符合題意；
②當(dāng)0＜k≤1時(shí)，，
所以x∈（0，1]時(shí)，g'（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
所以，符合題意；
③當(dāng)k＞1時(shí)，，
所以時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以x∈（0，1]時(shí)，，
令（0＜x＜1），則，
所以φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以x∈（0，1）時(shí)，，即，
所以，符合題意，
綜上所述，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求函數(shù)極值、最值及不等式恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．