Question

設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+有三個互不相同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，（x∈R），
∴f′（x）=﹣x²+2x+m²﹣1．
令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．
因為m＞0，所以1+m＞1﹣m．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）在x=1﹣m處取極小值
f（1﹣m）=﹣=﹣．
f（x）在x=1+m處取極大值
f（1+m）=﹣=．
（Ⅱ）∵f（x）=﹣x³+x²+（m²﹣1）x，
∴g（x）=f（x）+=﹣x³+x²+（m²﹣1）x+，
由（Ⅰ）知：g（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
在（1﹣m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
在x=1﹣m處取極小值，x=1+m處取極大值，
∵函數(shù)g（x）=f（x）+有三個互不相同的零點，且m＞0，
∴，解得．