Question

3．平行四邊形ABCD中，對角線AC=$\sqrt{65}，BD=\sqrt{17}$，周長為18，則這個平行四邊形的面積是（　�。�

• A． 8
• B． 18
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 可設AB=a，BC=b，從而得出a+b=9，進而得到a²+b²+2ab=81①，分別在△ABC和△BCD中，由余弦定理得到AC²=a²+b²-2abcos∠ABC，BD²=a²+b²-2abcos∠BCD，從而得出a²+b²=41②，聯(lián)立①便可得到ab=20，而聯(lián)立a+b=9即可求出a，b，進而根據(jù)余弦定理求出cos∠ABC，然后得出sin∠ABC，從而求出平行四邊形的面積．

解答 解：如圖，

設AB=CD=a，AD=BC=b，由周長為18，得到a+b=9；
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=81①；
∵∠ABC+∠BCD=180°；
∴由余弦定理得：AC²+BD²=a²+b²-2abcos∠ABC+a²+b²-2abcos∠BCD=2（a²+b²）=65+17=82；
即a²+b²=41②；
②代入①得：ab=20，與a+b=9聯(lián)立，解得：a=4，b=5；
在△ABC中，AB=4，BC=5，$AC=\sqrt{65}$；
∴由余弦定理得，$cos∠ABC=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{16+25-65}{2×4×5}$=$-\frac{3}{5}$；
∴$sin∠ABC=\frac{4}{5}$；
∴${S}_{平行四邊形ABCD}=AB•BCsin∠ABC4×5×\frac{4}{5}=16$．
故選：C．

點評 考查平行四邊形邊的關系，余弦定理，三角函數(shù)誘導公式，以及三角形的面積公式．