Question

7．已知函數(shù)f（x）定義域為R，且f（x）+f（-x）=x²，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜x，求f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x的解集．

Answer 1

分析 可先對f（-x）+f（x）=x²，兩邊對x取導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x＜0時，f′（x）＜x，推出x＞0時，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x，求導(dǎo)并推出F′（x）＜0，且F（$\frac{1}{2}$）=0，運用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
f（-x）+f（x）=x²，
兩邊對x求導(dǎo)，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x＜0時，f′（x）＜x，
∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直線y=x過原點，
∴f′（0）≤0，
∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x，則
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
即F（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，且F（$\frac{1}{2}$）=0，
∴不等式f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x，
即F（x）≥0，即F（x）≥F（$\frac{1}{2}$），
∴x≤$\frac{1}{2}$．
∴原不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并應(yīng)用單調(diào)性解不等式，同時考查構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的能力，如何運用條件，兩邊對x求導(dǎo)，是解決此類題的關(guān)鍵，值得重視．