Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=,其中a,b∈(0,+∞),且a≠1,

(1)求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列{a_n}同時又是等差數(shù)列，求b.

Answer 1

(1)證明一：∵a_n=,

∴a_n+1=.

∴==2^log_ab(常數(shù)).

故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列.

證明二：∵a_n=,

∴a_n+1=，a_n+2=.

∴a_n·a_n+2=·=

=［］²=a_n+1².

故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列.

（2）解：∵數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列,

∴

∴()²=a_n-1·a_n+1.

∴(a_n+1-a_n-1)²=0,a_n+1=a_n-1.

∴=.

∴l(xiāng)og_ab=0,∴b=1.

溫馨提示

(1)判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列主要方法有兩種：

①利用定義：=q(常數(shù));

②利用等比中項性質(zhì)：a_n+1²=a_n·a_n+2.

(2)若要說明一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需舉出反例即可.

（3）既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列一定是非零的常數(shù)列，即公差為0，公比為1.