Question

已知F是拋物線y²=4x的焦點，Q是其準線與x軸的交點，直線l過點Q，設直線l與拋物線交于點A，B．
（1）設直線FA、FB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（2）若線段AB上有一點R，滿足，求點R的軌跡．

Answer 1

解：（1）由題意可得P（1，0）、Q（-1，0），設直線l的方程為 y=k（x+1），k≠0，A（ x₁，y₁） B（x₂，y₂），
則 k₁+k₂=+= ①．
由 可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
代入①可得 k₁+k₂=0．
（2）設R（x，y），∵，而 ==，=，∴=．
從而有 y===2k．再由R（x，y）在線段AB上，故有 y=k（x+1），故有x=1．
再由 k²x²+（2k²-4）x+k²=0 的判別式△＞0，求得-1＜k＜1，故所求點R的軌跡方程為 x=1 （-2＜y＜2 y≠0），軌跡是一條線段．
分析：（1）由題意可得P（1，0）、Q（-1，0），設直線l的方程為 y=k（x+1），k≠0，A（ x₁，y₁） B（x₂，y₂），求出 k₁+k₂ 的解析式．由 可得關于x的一元二次方程，把韋達定理代入 k₁+k₂ 的解析式，化簡可得結果．
（2）設R（x，y），由 可得，=，由此求得y=2k，再由R（x，y）在線段AB上，故有 y=k（x+1），求得x=1．再由 k²x²+（2k²-4）x+k²=0的判別式△＞0 求出k的范圍，可得y的范圍，從而求得點R的軌跡方程，進而得到點R的軌跡．
點評：本題主要考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關系的應用，韋達定理的應用，屬于難題．