Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)．
（1）若dn=

an

n(n+1)

，求數(shù)列{d_n}的通項公式；
（2）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示組合數(shù)），求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若bn=

an

(n+2)2

•2n+1，記數(shù)列{

1

bn

}的前n項和為T_n，求

lim

n→+∞

Tn；

Answer 1

分析：（1）表示出新數(shù)列連續(xù)兩項，做差，得到差是定值，得到數(shù)列是等差數(shù)列，寫出通項公式，
（2）用數(shù)列的通項和所給的組合數(shù)比較，整理后求出k的值，表示出通項，要求前n項和，寫出后觀察可用組合數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果．
（3）整理構(gòu)造的新數(shù)列，化簡后可用裂項法求和，得到和式，求極限．

解答：解：（1）an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)
變?yōu)椋?span id="uy9quwi" class="MathJye">

an+1

(n+2)(n+1)

=

an

n(n+1)

+1=＞dn+1-dn=1
所以{d_n}是等差數(shù)列，d1=

a1

1•2

=3，
所以d_n=3+（n-1）=n+2
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）
a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

6

，k=6
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³
所以，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）
=6C_n+3⁴
=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

（3）bn=

n(n+1)

n+2

•2n+1

1

bn

=

n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

利用裂項法得：Tn=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

=

1

2

-

1

(n+1)•2n+1

∴

lim

n→+∞

Tn=

1

2

點評：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式．這是一種化歸能力的體現(xiàn)． 數(shù)列的遞推關(guān)系式往往比通項公式還重要，我們要重視數(shù)列的遞推關(guān)系式，依據(jù)遞推關(guān)系式的特點，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，達(dá)到解決問題的目的．