Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，底面為邊長等于1的正方形，△PCD為正三角形．求PA與平面PBC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：以D為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 　　則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，，)， 　　設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)． 　　則 　　令z＝1，則n＝(0，，1)． 　　又＝(－1，，)，∴·n＝0＋． 　　又||＝，|n|＝2， 　　∴cos〈，n〉＝． 　　∴PA與平面PBC所成的角為－arccos．

提示：

利用向量知識求異面直線所成的角，既可以直接用向量進(jìn)行計算，也可以利用向量的坐標(biāo)運算．最后確定異面直線夾角大小時，一定要注意角的范圍問題：異面直線所成的角的范圍是(0，]，向量夾角的范圍是[0，π]． 　　本題求解直線PQ與底面ABCD所成的角時，用了兩種方法：一種是先確定射影，再求角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影．第二種方法是利用法向量知識求解，要注意到求出的不是線面角，而是它的余角，并注意轉(zhuǎn)化．