Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（2），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點的導(dǎo)數(shù)值，即得曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可
（Ⅱ）令導(dǎo)數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可．
（Ⅲ）由于f（x）≥bx-2恒成立，得到b≤1+

1

x

-

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，b≤g（x）_min即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=1-

1

x

，
則f′(2)=

1

2

，f（2）=1-ln2，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-(1-ln2)=

1

2

(x-2)，
即x-2y-2ln2=0；
（Ⅱ）f′(x)=1-

1

x

，
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函數(shù)y=f（x）的極小值為f（1）=0；
（Ⅲ）依題意對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立
等價于x-1-lnx≥bx-2在（0，+∞）上恒成立
可得b≤1+

1

x

-

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g′(x)=

lnx-2

x2

令g′（x）=0，得x=e²
列表：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	1- 1 e2	↗

∴函數(shù)y=g（x）的最小值為g(e2)=1-

1

e2

，
根據(jù)題意，b≤1-

1

e2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于中檔題．